B3 (повышенный уровень, время – 5 мин)

Тема:  Кодирование чисел. Системы счисления.

Что нужно знать:

·    принципы кодирования чисел в позиционных системах счисления

·    тобы перевести число, скажем, 12345_N, из системы счисления с основанием  в десятичную систему, нужно умножить значение каждой цифры на  в степени, равной ее разряду:

4    3    2   1   0   ← разряды

1 2 3 4 5_N = 1·N⁴ + 2·N³ + 3·N² + 4·N¹ + 5·N⁰   

·    последняя цифра записи числа в системе счисления с основанием  – это остаток от деления этого числа на

·    две последние цифры – это остаток от деления на , и т.д.

Пример задания:

Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в системе счисления с основанием четыре оканчивается на 11?  

Общий подход:

·   вспомним алгоритм перевода числа из десятичной системы в систему с основанием  (см. презентацию), из него следует, что младшая цифра результата – это остаток от деления исходного числа на , а две младших цифры – это остаток от деления на  и т.д.

·   в данном случае , остаток от деления числа на  должен быть равен 11₄ = 5

·   потому задача сводится к тому, чтобы определить все числа, которые меньше или равны 25 и дают остаток 5 при делении на 16

Решение (вариант 1, через десятичную систему):

1)      общий вид чисел, которые дают остаток 5 при делении на 16:

где  – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …)

2)      среди всех таких чисел нужно выбрать те, что меньше или равны 25 («не превосходят 25»); их всего два: 5 (при ) и 21 (при )

3)      таким образом, верный ответ – 5, 21 .

Решение (вариант 2, через четверичную систему, предложен О.А. Тузовой):

1)      переведем 25 в четверичную систему счисления: 25 = 121₄, все интересующие нас числа не больше этого значения

2)      из этих чисел выделим только те, которые заканчиваются на 11, таких чисел всего два:
это 11₄ = 5  и 111₄ = 21

3)      таким образом, верный ответ – 5, 21 .