B4 (высокий уровень, время – 10 мин)

Тема:  Преобразование логических выражений.

Про обозначения

К сожалению, обозначения логических операций И, ИЛИ и НЕ, принятые в «серьезной» математической логике (Ú,Ù, ¬), неудобны, интуитивно непонятны и никак не проявляют аналогии с обычной алгеброй. Автор, к своему стыду, до сих пор иногда путает  Ù и Ú. Поэтому на его уроках операция «НЕ» обозначается чертой сверху, «И» – знаком умножения (поскольку это все же логическое умножение), а «ИЛИ» – знаком «+» (логическое сложение).
В разных  учебниках используют разные обозначения. К счастью, в начале задания ЕГЭ приводится расшифровка закорючек (Ú,Ù, ¬), что еще раз подчеркивает проблему.

Что нужно знать:

·    условные обозначения логических операций

¬ A,                     не A (отрицание, инверсия)

A Ù B,      A и B (логическое умножение, конъюнкция)

A Ú B,      A или B (логическое сложение, дизъюнкция)

A → B                     импликация (следование)

A ↔ B         эквиваленция (эквивалентность, равносильность)

·    таблицы истинности логических операций «И», «ИЛИ», «НЕ», «импликация», «эквиваленция» (см. презентацию «Логика»)

·    операцию «импликация» можно выразить  через «ИЛИ» и «НЕ»:

A → B = ¬ A Ú B или в других обозначениях  A → B =

·    операцию «эквиваленция» также можно выразить  через «ИЛИ» и «НЕ»:

A ↔ B = ¬ A Ù ¬ B Ú A Ù B или в других обозначениях  A ↔ B =

·    если в выражении нет скобок, сначала выполняются все операции «НЕ», затем – «И», затем  – «ИЛИ», и самая последняя – «импликация»

·    логическое произведение A∙B∙C∙… равно 1 (выражение истинно) только тогда, когда все сомножители равны 1 (а в остальных случаях равно 0)

·    логическая сумма A+B+C+… равна 0 (выражение ложно) только тогда, когда все слагаемые равны 0 (а в остальных случаях равна 1)

·    правила преобразования логических выражений (слайд из презентации «Логика»):